今天給各位分享笛卡爾名言關(guān)于數(shù)學(xué)的的知識(shí)，其中也會(huì)對(duì)笛卡爾一元論，笛卡爾一家信仰進(jìn)行解釋，如果能碰巧解決你現(xiàn)在面臨的問題，別忘了關(guān)注本站，現(xiàn)在開始吧！

本文導(dǎo)讀目錄：

1、笛卡爾一元論，笛卡爾一家信仰

2、笛卡爾簡(jiǎn)單的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了一場(chǎng)深刻的數(shù)學(xué)革命，致使拓?fù)鋵W(xué)誕生

笛卡爾一元論，笛卡爾一家信仰

勒內(nèi)·笛卡爾(1596 ~1650)出生于都蘭拉哈耶的一個(gè)貴族家庭。他在Loughreis的耶穌會(huì)學(xué)校接受教育，學(xué)習(xí)古代語言、經(jīng)院哲學(xué)和數(shù)學(xué)。他在數(shù)學(xué)研究中找到了他渴望的確定性和清晰性，但他對(duì)其他學(xué)科并不滿意。1612年離開學(xué)校時(shí)，他放棄了對(duì)這些學(xué)科的研究，而只追求“在他自己或世界的偉大著作中發(fā)現(xiàn)的”科學(xué)。他周游世界，享受塵世生活。617年和1619年，他加入了拿騷的莫里斯和提利將軍的軍隊(duì)，與各種各樣的人交往。在此期間，笛卡爾的知識(shí)興趣從未減弱。人們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)他處于冥想狀態(tài)，甚至在軍隊(duì)總部也是如此。如何在哲學(xué)中獲得和數(shù)學(xué)一樣的確定性，引起了他的興趣。他祈禱上帝的啟示，并發(fā)誓如果他的祈禱得到回應(yīng)，他會(huì)去拉雷多的寺廟朝拜。笛卡爾于1621年離開軍隊(duì)，花時(shí)間旅行和學(xué)習(xí)(1621 ~1625)。他和科學(xué)界的朋友在巴黎呆了三年(1625 ~1628)，但覺得需要獨(dú)處，于是去了荷蘭。在那里，他忙于準(zhǔn)備自己的作品(1629-1649)。1649年，笛卡爾接受了對(duì)哲學(xué)非常感興趣的克里斯蒂娜女王的邀請(qǐng)，來到斯德哥爾摩，但天氣損害了他的健康。笛卡爾在那里呆了一年，然后于1650年去世。

笛卡爾問題

和培根一樣，笛卡爾堅(jiān)決反對(duì)舊權(quán)威，強(qiáng)調(diào)哲學(xué)的實(shí)踐特征?！罢軐W(xué)是人類所能知道的知識(shí)中最完美的知識(shí)，不僅用于指導(dǎo)生活，還用于健康和發(fā)現(xiàn)各種藝術(shù)。”但與培根不同，笛卡爾把數(shù)學(xué)作為他的哲學(xué)方法的模型。他不僅提供了人類知識(shí)的輪廓，而且試圖構(gòu)建一個(gè)具有數(shù)學(xué)確定性的思想體系。在對(duì)自然的外在看法上，他同意新時(shí)代偉大的自然科學(xué)家的觀點(diǎn):自然界的一切——甚至是心理過程和情感——都必須用機(jī)械的方法來解釋，而不訴諸于形式或本質(zhì)。同時(shí)，他接受了長(zhǎng)期確立的唯心主義或唯心論哲學(xué)的基本原則，并試圖使它們適應(yīng)新科學(xué)的要求:他的問題是調(diào)和機(jī)械論與上帝、靈魂和自由的概念。

科學(xué)的分類

在笛卡爾看來，真正的哲學(xué)的第一部分是形而上學(xué)，它包含了知識(shí)的原理，如上帝的主要屬性的定義，靈魂的非物質(zhì)化以及我們所擁有的一切清晰簡(jiǎn)單的觀念。第二部分是物理。在發(fā)現(xiàn)了物質(zhì)事物的真正原理之后，我們通常會(huì)在物理學(xué)上研究整個(gè)宇宙是如何構(gòu)成的，然后研究地球的性質(zhì)以及在地球上發(fā)現(xiàn)的一切事物，比如空氣、水、火、磁鐵等物質(zhì)，然后研究植物、動(dòng)物尤其是人的性質(zhì)，以便發(fā)現(xiàn)對(duì)我們有用的其他科學(xué)。

“所以哲學(xué)作為一個(gè)整體就像一棵樹。這棵大樹的根是玄學(xué)，樹干是物理學(xué)，樹干上長(zhǎng)出的樹枝都是其他科學(xué)，可以概括為三個(gè)主要部分:醫(yī)學(xué)、力學(xué)和倫理學(xué)——我指的是更高、最完善的道德科學(xué)，它預(yù)設(shè)了其他科學(xué)的完整知識(shí)，是最高的智慧?！?/p>

笛卡爾的《哲學(xué)原理》第一部分包含形而上學(xué)，其他三部分處理“物理學(xué)中最一般的東西”。

知識(shí)的方法和標(biāo)準(zhǔn)

笛卡爾的目標(biāo)是找到一些確定的、不證自明的真理，比如那些有常識(shí)和推理能力的人都會(huì)接受的真理。經(jīng)院哲學(xué)不能給我們這樣的知識(shí)。對(duì)同一主題有許多不同的觀點(diǎn)，因此在經(jīng)院哲學(xué)中尋求確定性是徒勞的。其他科學(xué)實(shí)際上采用的是經(jīng)院哲學(xué)的原理，不可能在如此不穩(wěn)定的基礎(chǔ)上建立起堅(jiān)實(shí)的東西。我們得到的是大量的錯(cuò)誤觀點(diǎn)，被錯(cuò)誤和懷疑所包圍，卻沒有清晰明確的知識(shí)。哲學(xué)中沒有一個(gè)主題是無可爭(zhēng)議的。因此，如果我們想在科學(xué)中擁有某些東西，我們必須擺脫這些觀點(diǎn)，并從其基礎(chǔ)上重建知識(shí)的建筑。

我們不能接受傳統(tǒng)的觀點(diǎn)，但我們必須研究自然這本大書?！凹词棺x完了柏拉圖和亞里士多德的全部論證，如果我們不能對(duì)任何命題形成合理的判斷，我們也永遠(yuǎn)不可能成為哲學(xué)家?！敝绖e人的觀點(diǎn)不是科學(xué)，是歷史。人要獨(dú)立思考。但是，當(dāng)我們?cè)噲D獲得明確的知識(shí)時(shí)，我們應(yīng)該如何行動(dòng)呢？應(yīng)該遵循什么方法？這個(gè)數(shù)學(xué)例子向我們展示了我們?cè)谕评碇袘?yīng)該遵循的步驟。只有數(shù)學(xué)家才能找到確定的、不證自明的命題。毫無疑問，我們接受二加二等于四的說法，三角形的三個(gè)角之和等于兩個(gè)直角之和。如果我們可能在哲學(xué)中找到類似的真理，無數(shù)的爭(zhēng)論和爭(zhēng)議就會(huì)停止:我們將能夠證明上帝的存在、靈魂的不朽和外部世界的真實(shí)，也將為成功的科學(xué)建立安全的基礎(chǔ)。

我們?nèi)绾芜M(jìn)行數(shù)學(xué)研究，遵循什么方法？我們從不證自明的公理或原理開始，所有知道并理解這些公理或原理的人都會(huì)接受它們。我們用這些公理作為我們推導(dǎo)其他命題的出發(fā)點(diǎn)，這些命題在邏輯上是從這些原理推導(dǎo)出來的。如果推理沒有錯(cuò)誤，這些命題與前者具有相同的確定性。也就是說，我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的不證自明的命題開始，然后得到一個(gè)更復(fù)雜的命題。我們的方法是綜合的和演繹的。

這種方法也必須擴(kuò)展到哲學(xué)。我們應(yīng)該從絕對(duì)確定性的基本原理和清晰自明的命題出發(fā)，獲得同樣確定的和新的未知真理。在傳統(tǒng)的經(jīng)院哲學(xué)中尋求這樣的真理是徒勞的。因?yàn)樵诮?jīng)院哲學(xué)中，我們得到的除了一堆分歧的意見，什么都沒有。而我們不能接受任何只依賴于其他權(quán)威的真理。相反，我們必須自己尋求真相。我們不清楚明白的事，永遠(yuǎn)不要當(dāng)成真的。我們應(yīng)該警惕被童年時(shí)父母和老師灌輸給我們的偏見和觀念所影響。經(jīng)驗(yàn)表明，這些觀點(diǎn)很多都是錯(cuò)誤的，也許全部都是。我們也不能相信自己的感覺，因?yàn)楦杏X往往會(huì)欺騙我們。怎么才能知道它們和實(shí)物一致呢？但是有沒有可能我們不確定自己的身體和行為是否真實(shí)？是的，就連我們自己也不一定能確定這一點(diǎn)，因?yàn)槲覀兘?jīng)常被欺騙，經(jīng)常做夢(mèng)。在夢(mèng)里，我們相信眼前有真實(shí)的東西，但那只是幻覺。也許此刻我們正在做夢(mèng)，無法明確區(qū)分醒著和睡著。據(jù)我所知，可能是惡魔為了欺騙我，把我弄成這樣。我給自己描述的世界可能只存在于我的想象中。在我的意識(shí)之外，魔鬼的世界可能并不存在。連數(shù)學(xué)證明都可以被懷疑，因?yàn)槲覀冇袝r(shí)會(huì)看到人們?cè)谶@類問題上犯錯(cuò)誤，把我們認(rèn)為是假的東西當(dāng)成絕對(duì)確定性。

我不能完全確定任何想法?！坝纱耍壹僭O(shè)我看到的一切都是假的，我相信我的欺騙性記憶呈現(xiàn)給我的一切都是不真實(shí)的。我以為我沒什么感覺。物體、形狀、延伸和位置只是我頭腦的想象。那么還有什么可以被認(rèn)為是真實(shí)的呢？也許這個(gè)世界上沒有什么是確定的?！?/p>

但有一點(diǎn)是肯定的，那就是我懷疑或者認(rèn)為。這是毫無疑問的。事實(shí)上，在思考時(shí)假設(shè)思考者不存在是矛盾的。笛卡爾并沒有訴諸于經(jīng)驗(yàn)心理學(xué)事實(shí)，即心靈本身的意識(shí)，而是從邏輯上推導(dǎo)出懷疑包含懷疑者，思維包含思考者，即一個(gè)思考的事物或精神實(shí)體。就這樣，他得到了一個(gè)在他看來合情合理、不證自明的命題。它意味著懷疑思維，思維意味著存在，我思故我在——我思故我在。'對(duì)于以有序的方式進(jìn)行哲學(xué)推理的人來說，這是第一個(gè)也是最確定的知識(shí).'這就是我們?cè)趯ふ业脑瓌t——我們形而上學(xué)的一個(gè)明確的、不言自明的起點(diǎn)。這個(gè)命題也為我們提供了真理的標(biāo)準(zhǔn)和檢驗(yàn)。這個(gè)命題是絕對(duì)確定的，真實(shí)的，人們清楚地理解的。由此可以確立一個(gè)普遍原理:凡是和這個(gè)原理相似的，被人們清楚理解的，都是真實(shí)的。

笛卡爾簡(jiǎn)單的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了一場(chǎng)深刻的數(shù)學(xué)革命，致使拓?fù)鋵W(xué)誕生

簡(jiǎn)介

面、邊和頂點(diǎn)的數(shù)量不是獨(dú)立的，而是以簡(jiǎn)單的方式聯(lián)系在一起的。它利用最早的拓?fù)洳蛔兞康睦觼韰^(qū)分具有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的實(shí)體。拓?fù)鋵W(xué)是純數(shù)學(xué)中最重要、最有力的領(lǐng)域之一，是研究幾何對(duì)象在連續(xù)變形后不變的性質(zhì)。它幫助我們理解酶如何作用于細(xì)胞中的DNA，以及為什么天體的運(yùn)動(dòng)可以是混沌的。

歐拉立方體

隨著19世紀(jì)接近尾聲，數(shù)學(xué)家們開始發(fā)展一種新的幾何，在這種幾何中，長(zhǎng)度和角度等熟悉的概念不再是關(guān)鍵，三角形、正方形和圓形之間也沒有區(qū)別。它最初被稱為位置分析，但數(shù)學(xué)家們很快找到了另一個(gè)名字:拓?fù)?/strong>。

笛卡爾在1639年思考?xì)W幾里得的五個(gè)正多面體時(shí)注意到了拓?fù)鋵W(xué)。于是笛卡爾把注意力轉(zhuǎn)向了正立方體，也就是在這個(gè)時(shí)候，他注意到了關(guān)于正立方體的數(shù)律。立方體有6個(gè)面、12個(gè)邊和8個(gè)頂點(diǎn):

十二面體有12個(gè)面、30條邊和20個(gè)頂點(diǎn):

二十面體有20個(gè)面、30條邊和12個(gè)頂點(diǎn)；+12的和等于2。同樣的關(guān)系也適用于四面體和八面體。事實(shí)上，它適用于任何形狀的固體，規(guī)則的或不規(guī)則的。如果一個(gè)實(shí)體有f個(gè)面，e個(gè)邊和v個(gè)頂點(diǎn)，那么:

笛卡爾認(rèn)為這個(gè)公式只是一個(gè)小發(fā)現(xiàn)，并沒有發(fā)表。直到很久以后，數(shù)學(xué)家們才把這個(gè)簡(jiǎn)單的方程視為走向拓?fù)鋵W(xué)的第一步。在19世紀(jì)，純數(shù)學(xué)的三大支柱是代數(shù)、分析和幾何。到了20世紀(jì)末，它變成了代數(shù)、分析和拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué)通常被描述為“橡皮泥幾何”。線可以彎曲、收縮或拉伸，而圓可以被擠壓成三角形或正方形。保持連續(xù)性很重要。連續(xù)性是自然界的一個(gè)基本方面，也是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特征。今天我們主要是間接使用拓?fù)鋵W(xué)。量子場(chǎng)論和符號(hào)分子DNA的一些性質(zhì)需要通過拓?fù)鋵W(xué)來理解。

歐拉在1750年和1751年證明并發(fā)表了這個(gè)關(guān)系。F-E+V的表達(dá)看起來挺隨意的，但是結(jié)構(gòu)很有意思。面(f)是二維多邊形；邊(e)是一條線，并且是一維的；頂點(diǎn)(v)是一個(gè)0維的點(diǎn)。在表達(dá)式+F-E+V中，“+”表示偶數(shù)維，“-”表示奇數(shù)維。這意味著可以通過合并面或刪除邊和頂點(diǎn)來簡(jiǎn)化實(shí)體。這些變化不會(huì)改變F-E+V的結(jié)果。

現(xiàn)在，讓我解釋一下。如圖所示:

簡(jiǎn)化實(shí)體的關(guān)鍵步驟。從左至右:(1)開始；(2)合并相鄰的面；(3)所有面合并后保留的“樹”；(4)從樹中刪除邊和頂點(diǎn)；(5)結(jié)束。

先把立體變成球體，它的邊就是球體上的曲線。如果兩個(gè)面共享同一條邊，則可以刪除這條邊，并將兩個(gè)面合并為一個(gè)面。因?yàn)檫@個(gè)合并把F和E都減1，所以不會(huì)改變F-E+V的結(jié)果，這樣做，直到得到一個(gè)幾乎覆蓋整個(gè)球面的面(除了這個(gè)面，只剩下邊和頂點(diǎn))。它們必須形成一個(gè)沒有閉合環(huán)的網(wǎng)絡(luò)，因?yàn)榍蛎嫔系娜魏伍]合環(huán)都被至少兩個(gè)面分開:一個(gè)在閉合環(huán)內(nèi)，另一個(gè)在閉合環(huán)外。

這個(gè)過程將繼續(xù)下去，直到球體上只剩下一個(gè)沒有任何特征的頂點(diǎn)。現(xiàn)在V =1，E = 0，F(xiàn) =1。F - E + V =1 - 0 + 1 = 2 .但既然F-E+V的每一步都是常數(shù)，那么它的初值也一定是2，這就是我們要證明的。

這個(gè)證明有兩個(gè)組成部分。一種是簡(jiǎn)化過程:刪除一個(gè)面和一個(gè)相鄰的邊，或者刪除一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)相交的邊。另一種是不變，即無論何時(shí)執(zhí)行簡(jiǎn)化過程中的某一步，它都保持不變。只要這兩個(gè)分量同時(shí)存在，我們就可以盡可能簡(jiǎn)化任何初始對(duì)象的不變值，然后計(jì)算這個(gè)簡(jiǎn)化版本的不變值。因?yàn)樗且粋€(gè)不變量，所以這兩個(gè)值必須相等。因?yàn)樽詈蟮慕Y(jié)果很簡(jiǎn)單，所以不變量很容易計(jì)算。

事實(shí)上，笛卡爾的公式不適用于任何固體。最常見的不合適的固體是相框。想象一個(gè)木頭做的四面相框。每條邊的橫截面為長(zhǎng)方形，四個(gè)角由45°斜面連接，如下圖所示。每邊的木頭貢獻(xiàn)4個(gè)面，所以F = 16。每塊木頭也貢獻(xiàn)了4條邊，但是斜接在每個(gè)角上產(chǎn)生了4條邊，所以E = 32。每個(gè)角包含4個(gè)頂點(diǎn)，所以V = 16。因此F-E+V =0。

有什么問題？

左:F-E+V =0的幀。右圖:平滑簡(jiǎn)化后的相框最終結(jié)構(gòu)。

F-E+V不變性沒問題。簡(jiǎn)化流程沒有問題。但是，如果總是消除邊上的面或邊上的頂點(diǎn)，那么最終的簡(jiǎn)化配置不是單個(gè)面上的單個(gè)頂點(diǎn)。上圖右圖:F =1，V =1，E =2。在此階段，移除邊只會(huì)將唯一剩余的面與其自身合并，因此對(duì)數(shù)字的更改不再偏移。這就是我們停下來的原因，但我們還是得到了答案:對(duì)于這個(gè)配置，F(xiàn)-E+V = 0。因此，該方法被完美地執(zhí)行。它只是對(duì)相框產(chǎn)生了不同的效果。相框和正方體之間肯定有一些基本的區(qū)別，這些區(qū)別通過不變量F-E+V體現(xiàn)出來。

之前我跟你說過“把固體改造成球”。但這對(duì)于相框來說是不可能的。即使經(jīng)過簡(jiǎn)化，它的形狀也不像一個(gè)球體。它是一個(gè)圓環(huán)，看起來像一個(gè)輪胎，中間有一個(gè)洞。但是，F(xiàn)-E+V不變。這個(gè)證明告訴我們，任何可以變形為環(huán)面的立體都滿足一個(gè)略有不同的方程:F-E +V = 0。因此，我們有了嚴(yán)格證明環(huán)面不能變形為球面的基礎(chǔ)，即兩個(gè)曲面在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上是不同的。

當(dāng)然，這是直覺上顯而易見的，但現(xiàn)在我們可以用邏輯來支持直覺。就像歐幾里德從點(diǎn)和線的明顯性質(zhì)出發(fā)，將其形式化為嚴(yán)格的幾何理論一樣，19世紀(jì)和20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家發(fā)展了嚴(yán)格的拓?fù)淅碚摗?/p>

左:2孔圓環(huán)。右圖:3孔圓環(huán)。

像圓環(huán)體一樣的實(shí)體，有兩個(gè)或多個(gè)孔，如上圖所示。結(jié)果表明，任何可變形為2孔環(huán)面的立體都滿足F-E+V =-2，任何可變形為3孔環(huán)面的立體都滿足F-E+V =-4，一般來說，任何可變形為G孔環(huán)面的立體都滿足F-E+V = 2- 2g。

沿著笛卡爾和歐拉的思路，我們找到了固體的數(shù)量性質(zhì)(面、頂點(diǎn)和邊的數(shù)量)與帶孔性質(zhì)之間的關(guān)系。我們稱F-E+V為立方體的歐拉特征。

我們數(shù)孔的數(shù)量，這是一個(gè)定量的運(yùn)算，但“孔”本身是定性的，因?yàn)樗静皇且粋€(gè)固體的特征。直觀上，它是空間中的一個(gè)區(qū)域，而固體不是。其實(shí)越是開始思考什么是洞(hole)的時(shí)候，越會(huì)意識(shí)到定義洞是相當(dāng)棘手的，比如下圖:

這是我最喜歡的例子之一。叫做“洞中之洞”。顯然，你可以把一個(gè)洞穿過另一個(gè)洞。

情況變得越來越復(fù)雜。到19世紀(jì)末，它們?cè)跀?shù)學(xué)中無處不在——在復(fù)分析、代數(shù)幾何和黎曼微分幾何中。更糟糕的是，在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，高維固體類似物都占據(jù)著中心地位。太陽系的動(dòng)力學(xué)要求每個(gè)物體都有六個(gè)維度。它們具有更高維度的孔類似物。無論如何，有必要給這個(gè)新領(lǐng)域帶來一點(diǎn)秩序。答案是:不變。

拓?fù)洳蛔兞?/strong>的思想可以追溯到高斯對(duì)磁學(xué)的研究。他對(duì)磁力線和電力線是如何相互連接的感興趣。他定義了連接數(shù)，即一條磁力線纏繞另一條磁力線的次數(shù)。這是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?如果曲線連續(xù)變形，它保持不變。高斯的學(xué)生約翰·李斯特和高斯的助手奧古斯特·莫比烏斯第一次知道了高斯的研究。李斯特在1847年的《拓?fù)鋵W(xué)研究》中引入了“拓?fù)鋵W(xué)”一詞，而莫比烏斯則定義了連續(xù)變形的函數(shù)。

李斯特想推廣歐拉公式。表達(dá)式F- E+V是一個(gè)組合不變量。孔洞數(shù)g是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?無論固體如何變形，只要變形是連續(xù)的，就不會(huì)改變。拓?fù)洳蛔兞坎蹲叫螤畹亩ㄐ愿拍钐卣?；組合函數(shù)提供了一種計(jì)算方法。兩者的結(jié)合是非常強(qiáng)大的，因?yàn)槲覀兛梢杂酶拍畈蛔兞縼砜紤]形狀，用組合不變量來確定我們要討論的內(nèi)容。

實(shí)際上，這個(gè)公式完全避開了定義“洞”這個(gè)棘手的問題。相反，我們把“孔數(shù)”定義為一個(gè)包，既不定義孔，也不計(jì)算有多少孔。具體怎么做？就是把歐拉公式F-E+V = 2-2g改寫成這樣的形式:

現(xiàn)在，我們可以通過在立體聲上“取景”來計(jì)算G，計(jì)算F，E，V，然后把這些值代入公式。因?yàn)楸磉_(dá)式是不變量，所以不管我們?cè)趺磩澐謱?shí)體，得到的答案總是一樣的。但是我們所做的一切并不取決于洞的定義。反之，“孔數(shù)”就成了直觀的解釋。

這是拓?fù)鋵W(xué)一個(gè)核心問題的重大突破:什么時(shí)候一個(gè)形狀可以連續(xù)變化成另一個(gè)形狀？也就是就拓?fù)鋵W(xué)家而言，這兩個(gè)形狀是一樣的嗎？如果它們相同，它們的不變量也一定相同；反之，不變量不同，形狀也會(huì)不同。因?yàn)榍蛎婢哂袣W拉特性2，圓環(huán)體具有歐拉特性0，所以不可能將球面連續(xù)變形為圓環(huán)體。

不明顯的是，歐拉特性表明，這個(gè)令人費(fèi)解的“洞中之洞”實(shí)際上只是一個(gè)偽裝的三孔環(huán)面。曲面的大部分復(fù)雜性并不是來自于曲面固有的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而是來自于我選擇將其嵌入空間的方式。

拓?fù)鋵W(xué)中第一個(gè)真正重要的定理來自于歐拉特征線的公式。它是曲面的完整分類，曲面的二維形狀，像球面或圓環(huán)面。此外還附加了一些技術(shù)條件:曲面要沒有邊界，范圍要有限(術(shù)語為“緊致”)。

為了這個(gè)目的，表面本質(zhì)上被描述；也就是說，它不存在于周圍的空間中。一種方法是把這個(gè)表面想象成許多多邊形區(qū)域，它們按照特定的規(guī)則沿著邊緣粘在一起。

將正方形的邊粘附在一起，形成一個(gè)圓環(huán)。

結(jié)合邊界的可能性導(dǎo)致了一個(gè)相當(dāng)奇怪的現(xiàn)象:只有一面的曲面。最著名的例子是莫比烏斯帶，這是一條長(zhǎng)方形的帶子，兩端以180°旋轉(zhuǎn)粘在一起。莫比烏斯帶只有一條邊，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的兩條分開的邊是用半扭連接的。

我們可以很容易地做出一條莫比烏斯帶，因?yàn)樗梢宰匀坏厍度肴S空間。這條帶子只有一面，也就是說，如果你開始畫它的一個(gè)面，然后繼續(xù)畫，最終你會(huì)覆蓋整個(gè)面，正面和背面。

這是因?yàn)榘肱みB接前后。這不是一個(gè)固有的描述，因?yàn)樗蕾囉谠诳臻g中嵌入波段，有一個(gè)等價(jià)的，更專業(yè)的特征叫做方向性，這是固有的。

如果我們把一個(gè)長(zhǎng)方形的兩條邊粘在一起，就像莫比烏斯帶一樣，然后再把另外兩條邊粘在一起，就不需要任何扭曲。這個(gè)表面被描繪成這樣一個(gè)十字，它看起來像一個(gè)瓶頸通過側(cè)壁和底部相連。它是克萊恩發(fā)明的，叫做克萊恩瓶。

克萊恩瓶沒有邊界，結(jié)構(gòu)緊湊，所以任何表面分類都必須包含它。它是所有單面曲面家族中最著名的。

在數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域，曲面都是自然出現(xiàn)的。它們?cè)趶?fù)分析中很重要，在復(fù)分析中，曲面與函數(shù)行為異常的奇點(diǎn)相關(guān)，例如，導(dǎo)數(shù)不存在。奇異性是復(fù)分析中許多問題的關(guān)鍵。由于奇異性與曲面有關(guān)，曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為復(fù)變量分析提供了重要的技術(shù)。

大多數(shù)現(xiàn)代拓?fù)涫歉叨瘸橄蟮?，許多拓?fù)浒l(fā)生在四維或多維空間中。我們可以在更熟悉的環(huán)境中感受到主題: kink 。在現(xiàn)實(shí)世界中，繩結(jié)是用繩子打結(jié)而成的。拓?fù)鋵W(xué)家需要一種方法來防止結(jié)從結(jié)的末端脫落，所以他們將結(jié)的末端連接在一起，形成一個(gè)閉環(huán)。紐結(jié)是嵌入空間的圓。本質(zhì)上，紐結(jié)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與圓的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同，但在這種情況下，重要的是圓在周圍空間中的位置。這似乎違背了拓?fù)鋵W(xué)的精神，但結(jié)的本質(zhì)在于弦環(huán)與周圍空間的關(guān)系。通過不僅考慮回路，而且考慮它與空間的關(guān)系，拓?fù)鋵W(xué)可以解決關(guān)于節(jié)點(diǎn)的重要問題。包括:

我們?cè)趺粗酪粋€(gè)結(jié)真的打好了？

我們?nèi)绾螀^(qū)分拓?fù)渲械牟煌Y(jié)點(diǎn)？換句話說，是否可以在不切斷結(jié)本身的情況下，將兩個(gè)結(jié)從一個(gè)光滑地形改變到另一個(gè)光滑地形，仍然被認(rèn)為是一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。紐結(jié)不變量是幫助解決這個(gè)問題的強(qiáng)大工具，我們將在接下來介紹它。

我們能把所有可能的結(jié)分類嗎？

蘇格蘭理論物理學(xué)家彼得·泰特(Peter Tait)多年來研究出了最早的紐結(jié)分類表。1910年，Max Dern引入了紐結(jié)群的概念。1928年，詹姆斯·韋德·亞歷山大引入了紐結(jié)多項(xiàng)式，這是一種更容易處理的不變量。這些都是紐結(jié)理論發(fā)展的重要進(jìn)展。

大約在1960年以后，結(jié)論進(jìn)入拓?fù)鋵W(xué)的低潮，等待創(chuàng)造性的見解。1984年，新西蘭數(shù)學(xué)家Vaughan Jones發(fā)明了一種新的紐結(jié)不變量，叫做Jones多項(xiàng)式，也是由紐結(jié)圖和三種運(yùn)動(dòng)定義的。但是，這些移動(dòng)不會(huì)保留結(jié)的拓?fù)漕愋?。然而令人驚訝的是，這個(gè)想法還是可行的，瓊斯多項(xiàng)式是紐結(jié)不變量。

瓊斯的發(fā)現(xiàn)為他贏得了菲爾茲獎(jiǎng)。也引發(fā)了新紐結(jié)不變量的爆炸。1985年，4組不同的數(shù)學(xué)家(8人)同時(shí)發(fā)現(xiàn)了瓊斯多項(xiàng)式的同一個(gè)推廣，并將他們的論文提交給了同一份雜志。四種證明都不一樣，編輯說服了八位作者聯(lián)合起來，發(fā)表了一篇聯(lián)合文章。它們的不變量通常被稱為HOMFLY多項(xiàng)式(基于名字的首字母)。但即使是瓊斯多項(xiàng)式和HOMFLY多項(xiàng)式也沒有完全回答紐結(jié)理論的三個(gè)問題。對(duì)所有可能的結(jié)進(jìn)行系統(tǒng)的分類仍然是數(shù)學(xué)家的白日夢(mèng)。

拓?fù)溆性S多用途，但它們通常是間接的。比如我們對(duì)混沌的理解，就是基于動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)涮匦浴?/p>

拓?fù)鋵W(xué)更深入的應(yīng)用出現(xiàn)在基礎(chǔ)物理學(xué)的最前沿。在這里，拓?fù)鋵W(xué)的主要“消費(fèi)者”是量子場(chǎng)論者，因?yàn)槌依碚摚戳孔恿W(xué)和相對(duì)論的統(tǒng)一理論，是建立在拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)上的。這里，結(jié)論中費(fèi)曼圖的背景出現(xiàn)了一個(gè)類似的瓊斯多項(xiàng)式。它展示了量子粒子，如電子和光子，如何在時(shí)間和空間中移動(dòng)，碰撞，合并和分裂。曼圖有點(diǎn)像結(jié)圖。

對(duì)我來說，拓?fù)鋵W(xué)最吸引人的應(yīng)用之一是它在生物學(xué)中日益增加的應(yīng)用，這有助于我們理解生物分子DNA的工作方式。因?yàn)镈NA是雙螺旋結(jié)構(gòu)，就像兩個(gè)纏繞在一起的螺旋樓梯。這兩條鏈錯(cuò)綜復(fù)雜地交織在一起，重要的生物過程，尤其是細(xì)胞分裂期間DNA復(fù)制的方式，必須將這種復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)考慮在內(nèi)。

一些被稱為重組酶的酶切割兩條DNA鏈，然后以不同的方式重新連接它們。為了確定這種酶在細(xì)胞中的作用，生物學(xué)家將這種酶應(yīng)用于DNA的閉環(huán)。然后，他們用電子顯微鏡觀察修改后的環(huán)的形狀。如果酶將不同的鏈連接在一起，圖像就是一個(gè)結(jié):

如果酶將這些鏈分開，圖像會(huì)顯示兩個(gè)相連的環(huán)。紐結(jié)理論的方法，如瓊斯多項(xiàng)式和另一種稱為“糾纏”的理論，使研究紐結(jié)和連接的發(fā)生成為可能，這些紐結(jié)和連接提供了有關(guān)酶作用的詳細(xì)信息。

一般來說，日常生活中不會(huì)遇到拓?fù)?。但在幕后，拓?fù)鋵W(xué)貫穿了整個(gè)主流數(shù)學(xué)，使得其他具有更明顯實(shí)際應(yīng)用的技術(shù)得以發(fā)展。這就是為什么數(shù)學(xué)家認(rèn)為拓?fù)鋵W(xué)很重要，而數(shù)學(xué)以外的人很少聽說過。